Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Đặt cạnh hình vuông là \(x\,\,\left( {cm} \right)\), bán kính hình tròn là \(y\,\,\left( {cm} \right)\).
- Tính chu vi hình vuông và chu vi hình tròn, suy ra tổng 2 chu vi bằng \(120\,\,cm\).
- Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn và tính tổng.
- Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).Giải chi tiết:Đặt cạnh hình vuông là \(x\,\,\left( {cm} \right)\), bán kính hình tròn là \(y\,\,\left( {cm} \right)\).
\( \Rightarrow \) Độ dài đoạn dây thứ nhất là \(4x\,\,\left( {cm} \right)\), độ dài đoạn dây thứ hai là \(2\pi y\,\,\left( {cm} \right)\).
\( \Rightarrow 4x + 2\pi y = 120 \Leftrightarrow 2x + \pi y = 60\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( * \right)\).
Diện tích hình vuông là \({x^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích hình tròn là \(\pi {y^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là: \({x^2} + \pi {y^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}{60^2} = {\left( {2x + \pi y} \right)^2} = {\left( {2x + \sqrt \pi  .\sqrt \pi  y} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {{\sqrt \pi  }^2}} \right)\left( {{x^2} + \pi {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {x^2} + \pi {y^2} \ge \dfrac{{{{60}^2}}}{{4 + \pi }} \approx 504\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt \pi  y}}{{\sqrt \pi  }} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = y\), kết hợp (*)
\( \Rightarrow 4y + \pi y = 60\,\,\left( {cm} \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{{60}}{{4 + \pi }}\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow x = \dfrac{{120}}{{4 + \pi }}\,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất \(504\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Chọn C