Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Giải BPT (1) \( \Rightarrow {S_1}\)Giải BPT (2) \( \Rightarrow {S_2}\) Tìm tập nghiệm của hệ phương trình \(S = {S_1} \cap {S_2}\).Tập \(S = \left[ {a;\,\,b} \right]\) được biểu diễn trên trục số là một đoạn có độ dài bằng \(b - a\),Giải chi tiết:Xét hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)Xét \(\left( 1 \right)\): \(\begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le 4\end{array}\)Xét \(\left( 2 \right)\): Phương trình \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) có hai nghiệm là \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = m + 1\end{array} \right.\)TH1: \(m + 1 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1\)\(\begin{array}{l}{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2 \le x \le m + 1\end{array}\)+ Với \(m + 1 \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 3\) thì khi đó tập nghiệm của hệ là \(\left[ {2;\,\,4} \right]\) (loại)+ Với \(m + 1 < 4 \Leftrightarrow m < 3\) thì khi đó tập nghiệm của hệ là \(\left[ {2;\,\,m + 1} \right]\)Do đó, \(m + 1 - 2 = 1 \Leftrightarrow m = 2\) (thỏa mãn)TH2: \(m + 1 < 2 \Leftrightarrow m < 1\) \(\begin{array}{l}{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow m + 1 \le x \le 2\end{array}\)+ Với \(m + 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 0\) thì khi đó tập nghiệm của hệ là \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) (thỏa mãn)+ Với \(m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0\) thì khi đó tập nghiệm của hệ là \(\left[ {m + 1;\,\,2} \right]\)Do đó, \(2 - \left( {m + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow m = 0\) (loại)Suy ra, \(m \le 0\) hoặc \(m = 2\).Mà \(\left. \begin{array}{l}m \in R\\m \in \left[ { - 10;\,\,10} \right]\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 10;\,\, - 9;\,\, \ldots \,\,;\,\, - 1;\,\,0;\,\,2} \right\}\).Vậy có \(12\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.Đáp án C.