Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Từ BPT (2) suy ra \(m{x^2} + 3m - \sqrt {{x^4} - 1}  \ge 0 \Rightarrow m \ge 0\).Xét các trường hợp \(m = 0,\,\,m > 0\).Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x \ge 1\)Xét bất phương trình \(m{x^2} + 3m - \sqrt {{x^4} - 1}  \ge 0\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 3} \right) - \sqrt {{x^4} - 1}  \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 3} \right) \ge \sqrt {{x^4} - 1} \\ \Rightarrow m \ge 0\end{array}\)+) Với \(m = 0\), bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{{x^2} - 1}} \le 0\\ - \sqrt {{x^4} - 1}  \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{{x^2} - 1}} \le 0\\\sqrt {{x^4} - 1}  \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^4} - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x =  \pm 1\)+) Với \(m > 0\), ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{{{x^2} - 1}} + m\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1} } \right) + 2019m \le 0\\m{x^2} + 3m - \sqrt {{x^4} - 1}  \ge 0\end{array} \right.\)Với mọi \(x \ge 1\), \(m > 0\) ta có:\(\left. \begin{array}{l}\sqrt[4]{{{x^2} - 1}} \ge 0\\\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1}  > 0\\2019m > 0\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \sqrt[4]{{{x^2} - 1}} + m\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1} } \right) + 2019m > 0\)\( \Rightarrow \) Bất phương trình \(\sqrt[4]{{{x^2} - 1}} + m\left( {\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x + 1} } \right) + 2019m \le 0\) vô nghiệm\( \Rightarrow \) \(m > 0\) không thỏa mãnVây có duy nhất giá trị \(m = 0\) thỏa mãn đề bài.Đáp án A.