Ta có: $3=1.3$
$8=2.4$
$15=3.5$
⇒ Số thứ $n$ là: $n.(n+2)$
⇒ Số hạng thứ $100$ là: $100.102$
Tổng của $100$ số hạng đầu tiên là:
$A=1.3+2.4+3.5+....+100.102$
$=1.(1+2)+2.(2+2)+3.(3+2)+...+100.(100+2)$
$=1²+1.2+2²+2.2+3²+3.2+...+100²+100.2$
$=1²+2²+3²+...+100²+2.(1+2+3+...+100)$
$=1(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+100.(101-1)+2.(1+2+3+...+100)$
$=1.2+2.3+3.4+...+100.101+(1+2+3+...+100)$
Đặt $B=1.2+2.3+3.4+...+100.101$
$⇔3B=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+100.101.(102-99)$
$⇔3B=100.101.102$
$⇔B=\dfrac{100.101.102}{3}$
$⇒A=B+(1+2+3+...+100)=\dfrac{100.101.102}{3}+(1+2+3+...+100)$
$=100.101.34+(100+1).100:2$
$=101.(100.34+50)$
$=348450$
