Xác định vị trí của \(M,\,\,N\) trên đường tròn định hướng và góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,ON} \right)\) rồi suy ra số đo cung lượng giác \(AN\).Giải chi tiết: Vì số đo cung \(AM\) bằng \({45^ \circ }\) nên \(\angle AOM = {45^ \circ }\) \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\) nên \(\angle AON = {45^ \circ }\). Do đó \(\left( {OA,\,\,ON} \right) = - {45^ \circ } + k{360^ \circ }\) nên số đo cung lượng giác \(AN\) là \( - {45^ \circ } + k{360^ \circ },\,\,k \in \mathbb{Z}\). Chọn D.