Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng, tính chất hình bình bành,…Giải chi tiết:
Ta có:
\(AB\parallel {A_1}{B_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)\( \Rightarrow AB\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
\(BC\parallel {B_1}{C_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)\( \Rightarrow BC\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
\(CD\parallel {C_1}{D_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)\( \Rightarrow CD\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
\(AD\parallel {A_1}{D_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)\( \Rightarrow AD\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
Xét tứ giác \(A{A_1}{C_1}C\), ta có :
\(\left. \begin{array}{l}A{A_1} = B{B_1} = C{C_1}\\A{A_1}\parallel B{B_1}\parallel C{C_1}\end{array} \right\}\)\( \Leftrightarrow A{A_1}{C_1}C\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
 \( \Leftrightarrow AC\parallel {A_1}{C_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)
\( \Rightarrow AC\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)
Xét tứ giác\(B{B_1}{D_1}D\), ta có :
\(\left. \begin{array}{l}D{D_1} = A{A_1} = B{B_1}\\D{D_1}\parallel A{A_1}\parallel B{B_1}\end{array} \right\}\)\( \Leftrightarrow B{B_1}{D_1}D\)là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow BD\parallel {B_1}{D_1} \in \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\\ \Rightarrow BD\parallel \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\end{array}\)
Vậy tồn tại 6 đường thẳng \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD\) song song với mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
Chọn D.