Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

1. Sử dụng bài toán phương tích, ta cần chứng minh \(AN.AF = AE.AQ\)
2. Dựng hình bình hành \(AEVF\), dễ thấy tứ giác \(ABVC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AV\), ta chỉ việc chỉ ra \(I\) là trung điểm của \(AV.\)
3. Để chứng minh 4 điểm \(D,A,K,J\) thẳng hàng, ta lần lượt chứng minh mỗi 3 điểm \(D,A,K\) và \(A,K,J\) thẳng hàng bằng kỹ thuật điểm trùng nhau, kỹ thuật hình duy nhất.Giải chi tiết:
1. Chứng minh tứ giác \(EFQN\) nội tiếp trong một đường tròn.
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có: \(\angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \)
\(\angle EAB = \angle FAC\) (cùng phụ với \(\angle BAC)\)
\( \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACF\,\,\,\left( {g - g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AQ}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}\)
Xét  \(\Delta ANE\)  và \(\Delta AQF\) có:
\(\angle NAE = \angle QAF\) (đối đỉnh)
\(\dfrac{{AN}}{{AQ}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ANE \sim \Delta AQF{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle ENA = \angle FQA = \angle ENF = \angle FQE\end{array}\)
\( \Rightarrow EFQN\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
2. Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF.\) Chứng minh \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
Gọi \(V\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EB,FC\)
Tứ giác \(EAFV\)có \(AF//EV,AE//VF\) nên \(EAFV\) là hình bình hành.
Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\) nên \(I\) cũng là trung điểm của đoạn thẳng \(AV.\)
Suy ra 3 điểm \(A,\,\,I,\,\,V\) thẳng hàng.
Mặt khác, ta thấy tứ giác \(ABVC\)có \(\angle ABV = \angle ACV = {90^0}\) nên \(ABVC\) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AV\)
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
3. Đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(PQ\) tại \(D.\) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(DMQ\) và \(DNP\) cắt nhau tại K \(\left( {K \ne D} \right).\) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(J.\) Chứng minh 4 điểm \(D,\,A,\,\,K,\,\,J\) thẳng hàng.
Đầu tiên, ta chứng minh \(D,\,\,A,\,\,K\) thẳng hàng.
Gọi \(K'\) là giao điểm của \(DA\)và \(EF\), dễ thấy tứ giác \(NDQA\) nội tiếp nên \(\angle NDK' = \angle NFK'\).
Do đó tứ giác \(NDFK'\) nội tiếp.
Mặt khác, do tứ giác \(NDPF\) nội tiếp nên 5 điểm \(N,D,P,F,K'\)cùng thuộc một đường tròn.
Vậy K’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(NDP\)
Chứng minh tương tự ta cũng có K’ cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DMQ \Rightarrow K \equiv K'\)
\( \Rightarrow 3\) điểm \(D,A,K\) thẳng hàng  (1)

Bây giờ, ta chứng minh \(A,K,J\)thẳng hàng

Do 5 điểm \(D,Q,K,E,M\) cùng thuộc một đường tròn nên \(\angle AKE = \angle DQE = {90^0}\)suy ra \(AK \bot KE\).
Từ đó suy ra tứ giác \(AKBE\) nội tiếp nên \(\angle EKB = \angle EAB = {90^0} - \angle BAC\).
Tương tự ta có: \(\angle FKC = \angle FAC = {90^0} - \angle BAC\)
Suy ra \(\angle BKC = {180^0} - \left( {\angle EKB + \angle FKC} \right)\)\( = 2\angle BAC = \angle BIC\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\( \Rightarrow BKIC\) là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác \(\angle JBI = \angle JCI = {90^0}\) nên \(BICJ\) nội tiếp
Do đó 5 điểm \(B,K,I,C,J\) cùng thuộc một đường tròn nên ta có \(\angle IKJ = \angle JBI = {90^0}\) \( \Rightarrow JK \bot EF\)
Mà \(AK \bot KE \Rightarrow A,K,J\) thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(D,A,K,J\) thẳng hàng.