Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Sưu tầm Fb Nguyễn Hồng Hiên

Trong \(\left( {DMN} \right)\) kẻ \(DH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {DMN} \right) \bot \left( {ABC} \right) = MN\\DH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right)\).
Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên ta dễ dàng chứng minh được \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Giả sử \(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AN}  = y\overrightarrow {AC} \,\,\left( {0 < x,y \le 1} \right)\).
Ta có \({V_{D.AMN}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{\Delta AMN}}\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(3\) nên \(AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt 6 \) không đổi nên \({V_{DAMN}}\) đạt max khi \({S_{\Delta AMN}}\) đạt max.
Ta có \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN.\sin \angle MAN \le \dfrac{1}{2}3x.3y.\sin {60^0} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}xy\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MH}  = \overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AM}  = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) - x\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{1}{3} - x} \right)\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = y\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} \end{array}\)\
Vì \(\overrightarrow {MH} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) cùng phương nên suy ra \(\dfrac{{\dfrac{1}{3} - x}}{{ - x}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{y} \Rightarrow y = \dfrac{x}{{3x - 1}}\).
 
Lại có \(0 < y \le 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{x}{{3x - 1}} \le 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{x} \le x \le 1\).
Khi đó ta có \({S_{\Delta AMN}} \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}xy \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{x^2} - 1}}{{3x - 1}}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\) với \(x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 2x}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2},\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2};\,\,f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{4}{9}\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\) hay \(f\left( x \right) \le \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} \le \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{8} \Rightarrow {\left( {{S_{\Delta AMN}}} \right)_{\max }} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{8}\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\).
Vậy \({\left( {{V_{D.AMN}}} \right)_{\max }} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 6 .\dfrac{{9\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\).
Chọn C