Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị tìm hàm số \(f\left( x \right)\) tường minh.
- Đặt \(t = \sin x\). Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right]\). Đưa phương trình về dạng \(m = g\left( t \right)\) trên \(\left( {0;1} \right]\).
- Để phương trình \(m = g\left( t \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right]} g\left( t \right)\).Giải chi tiết:Đặt \(t = \sin x\). Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right]\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba có 2 điểm cực trị \(x =  - 1,\,\,x = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = a\left( {{x^2} - 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = a\dfrac{{{x^3}}}{3} - ax + C\end{array}\)
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = C = 1\\f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}a - a + C =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 1\\a = 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).
Khi đó phương trình đã cho trở thành \(f\left( t \right) = 3t + m \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 1 = 3t + m \Leftrightarrow m = {t^3} - 6t + 1 = g\left( t \right)\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} - 6t + 1\) ta có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t =  \pm \sqrt 2  \notin \left( {0;1} \right]\).
Ta có \(g\left( 0 \right) = 1,\,\,g\left( 1 \right) =  - 4\).
\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm khi \( - 4 \le m < 1\).
\( \Rightarrow S = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng \( - 10\).
Chọn D