Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

- Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,AB\), chứng minh \(d\left( {SC;MN} \right) = d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
- Đổi \(d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot MQ\,\,\left( {H \in MQ} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {MPNQ} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(P\) là trung điểm của \(SD\) ta có \(NP//SC \Rightarrow SC//\left( {MNP} \right) \supset MN\).
\( \Rightarrow d\left( {MN;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MNP} \right)} \right)\).
Gọi \(Q\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow MP//NQ\) \( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {MPNQ} \right)\) nên \(d\left( {S;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Ta có: \(SA \cap \left( {MPNQ} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)}} = \dfrac{{MS}}{{MA}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {S;\left( {MPNQ} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot MQ\,\,\left( {H \in MQ} \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}QN \bot AB\\QN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow QN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow QN \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot QN\\AH \bot QM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {MPNQ} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {MPNQ} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AQ = \dfrac{1}{2}AB = a\), \(AM = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AMQ\) ta có: \(AH = \dfrac{{AM.AQ}}{{\sqrt {A{M^2} + A{Q^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{5{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {SC;MN} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\).
Chọn B