Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp giải phương trìnhGiải chi tiết:Điều kiện xác định: \(x \ge  - \frac{1}{3}\).
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1}  = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1}  - \sqrt {3x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \frac{{x + 1 - 3x - 1}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{{2x}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;(tm)\\\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1}  = 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1}  + 3x + 1 = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1}  = 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}(tm)\\x = \frac{{ - 2 - 2\sqrt 7 }}{3}(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right\}\).