Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Ta có một bổ đề sau
Bổ đề: Cho tam giác $ABC.$ Đường cao $AD,P$ là điểm bất kỳ trên $AD.$$BP,CP$ cắt $AC,AB$lần lượt tại $E$và $F$. Khi đó $DA$ là phân giác $\angle EDF$.
Chứng minh: Qua $A$ kẻ đường song song với $BC,$ cắt $DE,DF$tại $X$ và $Y$
Ta có: \(\frac{AX}{DC}=\frac{AE}{EC};\frac{AY}{DB}=\frac{AF}{FB}\) mà \(\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=1\)(định lý Ceva) nên $AX=AY$
Lại có $AD\bot XY\Rightarrow DA$ là phân giác $\angle EDF$
Trở lại bài toán : Ta có:
$\angle KLE=\angle QLE=\angle QAK=\angle EFK\Rightarrow ELFK$ là tứ giác nội tiếp
Gọi $T'$ là giao của hai đường thẳng qua $S$ song song với $BC$, với $AL$
Ta có: $(angle AT'S=\angle APL=\angle AKL$nên tứ giác $SLT'K$ nội tiếp
Suy ra $\angle LKT'=\angle LST'=\angle LFE=\angle LKE$
Suy ra $K,E,T'$ thẳng hàng . Từ đó $T'\equiv T$
Gọi $Y$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $AC,BY$ cắt $\left( AKP \right)$ tại $X$, cắt $AL$ tại $T''$
Ta có $PY=PK\Rightarrow LP$ là phân giác của $\angle KLY$
Mà $BL\bot AT''$ nên theo bổ đề trên, $K,E,T''$ thẳng hàng nên $T''\equiv T$
Ta có $\angle AXT=\angle APY=\angle APK=\angle ABC=\angle AST$ nên $X\in \left( AST \right)$
$\angle PXB=\angle PAY=\angle PAB=\angle PRB\Rightarrow X\in \left( BPR \right)$
Do $\angle AXP={{90}^{0}}=\angle ATX+\angle PBX$ nên kẻ tiếp tuyến $Xt$ của $\left( AST \right)$ thì $Xt$ cũng là tiếp tuyến của $\left( BPR \right).$Vậy $\left( AST \right)$tiếp xúc với $\left( BPR \right)$ tại $X$.
