Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hằng đẳng thức ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)$
b) Ứng dụng tam thức bậc hai
c) Dùng hằng đẳng thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ để đơn giản biểu thức, sau đó sử dụng câu b) làm gợi ýGiải chi tiết:a) Có ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow 64=22+2\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow ab+bc+ca=21$
b) ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=22\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 8-a-b \right)}^{2}}=22$
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+64+2ab-16a-16b=22$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+a\left( b-8 \right)+{{b}^{2}}-8b+21=0$
c)
$P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$
\(P={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\)
\(P={{8}^{3}}-3\left( 8-c \right)\left( 8-b \right)\left( 8-c \right)\)
\(P={{8}^{3}}-3\left( {{8}^{3}}+8\left( ab+bc+ca \right)-64\left( a+b+c \right)-abc \right)\)
\(P={{8}^{3}}-3\left( {{8}^{3}}+8.21-64.8-abc \right)\)
\(P=8+3abc\)
Vì $2\le a,b,c\le \frac{10}{3}\Rightarrow \left( a-2 \right)\left( b-2 \right)\left( c-2 \right)\ge 0\Rightarrow abc-2\left( ab+bc+ca \right)+4\left( a+b+c \right)-8\ge 0\Rightarrow abc\ge 18$
Lại có $\left( a-\frac{10}{3} \right)\left( b-\frac{10}{3} \right)\left( c-\frac{10}{3} \right)\le 0\Leftrightarrow abc-\frac{10}{3}\left( ab+bc+ca \right)+\frac{100}{9}\left( a+b+c \right)-\frac{1000}{27}\le 0\Rightarrow abc\le \frac{490}{27}$
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $62$, dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $\left( a;b;c \right)=\left( 2;3;3 \right)$
Giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{562}{9}$, dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $\left( a;b;c \right)=\left( \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3} \right)$