Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(\left( { - \dfrac{1}{2}; - 1} \right)\) và \(\left( {0;\dfrac{5}{4}} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{0 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{y + 1}}{{\dfrac{5}{4} + 1}} \Leftrightarrow 2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{4}{9}\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow y + 1 = \dfrac{9}{2}\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{9}{2}x + \dfrac{5}{4}\end{array}\)
Vì đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \( - \dfrac{1}{2}\) nên \(f'\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{2}\).
Gọi \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( { - \dfrac{1}{2}; - 1} \right);\,\,\left( {0;0} \right)\) và có \(f'\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{2}\), \(f'\left( 0 \right) = 0\) (do \(x = 0\) là cực trị của hàm số) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - \dfrac{1}{8}a + \dfrac{1}{4}b - \dfrac{1}{2}c + d\\0 = d\\\dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{4}a - b + c\\0 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = d = 0\\ - \dfrac{1}{8}a + \dfrac{1}{4}b =  - 1\\\dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{4}a - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\\c = d = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6x\).
Xét tích phân \(I = \int\limits_{ - \frac{5}{2}}^{ - 1} {xf''\left( {x + 2} \right)dx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f''\left( {x + 2} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f'\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}I = \left. {xf'\left( {x + 2} \right)} \right|_{ - \dfrac{5}{2}}^{ - 1} - \int\limits_{ - \frac{5}{2}}^{ - 1} {f'\left( {x + 2} \right)dx} \\\,\,\,\, =  - f'\left( 1 \right) + \frac{5}{2}f'\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - \left. {f\left( {x + 2} \right)} \right|_{ - \frac{5}{2}}^{ - 1}\\\,\,\,\, =  - f'\left( 1 \right) + \frac{5}{2}f'\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - f\left( 1 \right) + f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\\\,\,\,\, = 0 + \frac{5}{2}.\dfrac{9}{2} - \left( { - 1} \right) - 1 = \dfrac{{45}}{4}\end{array}\)
\( \Rightarrow m = 45,\,\,n = 4\).
Vậy \({m^2} + n = {45^2} + 4 = 2029\).
Chọn D