Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).Ta có \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 36\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).Mà hàm số \(y = f\left( x \right)\) giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow 2x + 1 \ge 0\).\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 6\sqrt {2x + 1} \sqrt {f\left( x \right)} \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = 3\sqrt {2x + 1} \end{array}\)Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\begin{array}{l}\sqrt {f\left( x \right)}  = 3\int {\sqrt {2x + 1} dx}  = 3\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}dx} \\ \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)}  = 3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{\left( {2x + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\\ \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right)}  = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1}  + C\end{array}\)Ta có \(f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow \sqrt {f\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}  = 2\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {2.\dfrac{3}{2} + 1} \right)\sqrt {2.\dfrac{3}{2} + 1}  + C = 2\\ \Leftrightarrow 4.\sqrt 4  + C = 2 \Leftrightarrow C =  - 6\end{array}\)\( \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)}  = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1}  - 6\).Vậy \(\sqrt {f\left( 4 \right)}  = 9.\sqrt 9  - 6 = 21 \Rightarrow f\left( 4 \right) = 441\).Chọn D