Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) sau đó tính giá trị \(f\left( x \right)\) tại hai đầu mút là \(f\left( 1 \right)\) và \(f\left( 3 \right)\).
Xét hai trường hợp \(f'\left( x \right) > 0\) và \(f'\left( x \right) < 0\) để tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn.Giải chi tiết:Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 2m}}{{x + 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2 - 2m}}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
      \(f\left( 1 \right) = \dfrac{{1 + 2m}}{3};\,\,\,f\left( 3 \right) = \dfrac{{3 + 2m}}{5}\)
TH1: \(2 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 1\)
Trên đoạn [1;3] ta có:
+) \(\,\left\{ \begin{array}{l}1 + 2m \le 0\\3 + 2m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 3}}{2}\)
Trên đoạn [1;3] ta có:
\( \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{ - 3 - 2m}}{5} + \dfrac{{ - 1 - 2m}}{3} = 2\)
\( \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{ - 16m}}{{15}} = \dfrac{{44}}{{15}} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{11}}{4}\)
+) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2m \ge 0\\3 + 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{2}\)
Tương tự trên ta có \(m = 1\) (loại)
+) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2m \le 0\\3 + 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2} \le m \le  - \dfrac{1}{2}\)
Tương tự
(loại vì không tmđk)
TH2:\(\,\,2 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
\( \Rightarrow \,\min f\left( x \right) = \dfrac{{3 + 2m}}{5} > 0;\,\max f\left( x \right) = \dfrac{{1 + 2m}}{3} > 0\)
Trong đoạn [1;3]
\( \Rightarrow \,\min f\left( x \right) = \dfrac{{3 + 2m}}{5};\,\max f\left( x \right) = \dfrac{{1 + 2m}}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{3 + 2m}}{5} + \dfrac{{1 + 2m}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = 1(L)\)
TH3:\(\,2 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) ta có:
\(\,\min \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\,\,;\,\max \,\left| {f\left( x \right)} \right| = 1\)
\( \Rightarrow m = 1\) (thỏa mãn)
\( \Rightarrow \,S = \{  - \dfrac{{11}}{4};1\} \)
Chọn C