Gọi \(H\) là chân hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng đáy. Từ đó lập luận các trường hợp xảy ra của điểm \(H\) và tìm ra giá trị nhỏ nhất của \(SH.\)Giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) \(M,\,N,\,P\) lần lượt là hình chiếu của H trên \(AB,\,BC,\,CA\) Khi đó \(SM,\,SN,\,SP\) lần lượt là đường cao của các mặt bên Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên \(SM = SN = SP \Rightarrow HM = HN = HP\) Nên H là đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC. +) TH1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \), cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \) Ta có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 4\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.42.\dfrac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 3 \) +) TH2: H là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Giả sử bàng tiếp góc A Ta có \(AH = \dfrac{{2.\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 2 \,\,\,;\,\,BH = CH = \sqrt 6 \) Nếu \(SA = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = 0\,\left( l \right)\) Nếu \(SA = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SB = SC = 3\sqrt 2 \, \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = 2\sqrt 3 \) Thể tích khối chóp \(SABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = 3\) Vậy \(\min {V_{SABC}} = 3\) Chọn B
