Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right) \)
\( \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right){\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 1} \right) = \frac{9}{{y + 1}} - {x^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \frac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right) + 2\end{array}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \frac{9}{{y + 1}} + {{\log }_3}\frac{1}{{y + 1}} + {{\log }_3}9}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {{\log }_3}\frac{9}{{y + 1}} + \frac{9}{{y + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}\)
Xét hàm số đặc trưng: \({\log _3}t + t,\,\,t > 0\)\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall \,t > 0\)
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó: \({x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{{y + 1}} - 2\).
\(P = \dfrac{9}{{y + 1}} + 2y - 2,\,\,y > 0\)
\(P' =  - \dfrac{9}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\\y + 1 =  - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\\y =  - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\end{array} \right.\)
Mà điều kiện \(x,y > 0\) nên \(y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \( - 4 + 6\sqrt 2 \).
Chọn C