Ta có
$A = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + \cdots - 3^{2003} + 3^{2004}$
$= (1 + 3^2 + 3^4 + \cdots + 3^{2004}) - (3 + 3^3 + \cdots + 3^{2003})$
$= B - C$
Ta có
$B = 1 + 3^2 + 3^4 + \cdots + 3^{2004}$
Vậy
$3^2B = 9B = 3^2 + 3^4 + \cdots + 3^{2004} + 3^{2006}$
Suy ra
$8B = 9B - B = (3^2 + 3^4 + \cdots + 3^{2004} + 3^{2006}) - (1 + 3^2 + 3^4 + \cdots + 3^{2004}) = 3^{2006}-1$
Vậy $B = \dfrac{3^{2006} - 1}{8}$
Lại có
$C = 3 + 3^3 + \cdots + 3^{2003}$
Suy ra
$3^2C = 9C = 3^3 + 3^5 + \cdots + 3^{2005}$
Vậy
$8C = 9C - C = (3^3 + 3^5 + \cdots + 3^{2005}) - (3 + 3^3 + \cdots + 3^{2003}) = 3^{2005} - 3$
Do đó $C = \dfrac{3^{2005} - 3}{8}$
Suy ra
$A =\dfrac{3^{2006} - 1}{8} - \dfrac{3^{2005} - 3}{8} = \dfrac{3^{2006} - 3^{2005} - 1 + 3}{8}$
$= \dfrac{3^{2005}(3 - 1) + 2}{8}$
$= \dfrac{3^{2005} + 1}{4}$
Suy ra
$4A - 1 = 4.\dfrac{3^{2005} + 1}{4} - 1 = 3^{2005} + 1 - 1 = 3^{2005}$
Vậy $4A - 1$ là một lũy thừa của 3.
