Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x + m > 0\).
Ta có  
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\ln ^3}\left( {x + m} \right) + {m^3} + {e^x}\ln {\left( {x + m} \right)^{3m}} = {e^{3x}}\\ \Leftrightarrow {\ln ^3}\left( {x + m} \right) + {m^3} + 3m{e^x}\ln \left( {x + m} \right) = {e^{3x}}\\ \Leftrightarrow {\ln ^3}\left( {x + m} \right) + {\left( { - {e^x}} \right)^3} + {m^3} - 3\ln \left( {x + m} \right).\left( { - {e^x}} \right).m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}A = \ln \left( {x + m} \right)\\B =  - {e^x}\\C = m\end{array} \right.\), phương trình (1) trở thành: \({A^3} + {B^3} + {C^3} - 3ABC = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {A + B + C} \right)\dfrac{{{{\left( {A - B} \right)}^2} + {{\left( {B - C} \right)}^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}}{2} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A + B + C = 0\\A = B = C\end{array} \right.\end{array}\)
+) Xét \(A = B = C \Leftrightarrow \ln \left( {x + m} \right) = m =  - {e^x}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - {e^x}\\x + m = {e^m}\end{array} \right. \Rightarrow m =  - {e^{{e^m} - m}} \Leftrightarrow m + {e^{{e^m} - m}} = 0\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - x\) ta có \(f'\left( x \right) = {e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
BBT của hàm số \(f\left( x \right)\):

Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( x \right) \ge 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {e^x} > x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow {e^{{e^m} - m}} > {e^{ - m}} >  - m\,\,\forall m \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {e^{{e^m} - m}} + m > 0\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm.
+) Xét \(A + B + C = 0\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {x + m} \right) - {e^x} + m = 0 \Leftrightarrow {e^x} = m + \ln \left( {x + m} \right)\,\,\left( 3 \right)\)
Đặt \(y = \ln \left( {x + m} \right) \Leftrightarrow {e^y} = x + m\).
Khi đó phương trình (3) trở thành: \({e^x} = m + y\).
Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{e^x} = m + y\\{e^y} = m + x\end{array} \right. \Leftrightarrow {e^x} - {e^y} = t = y - x \Leftrightarrow {e^x} + x = {e^y} + y\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} + 1 \Rightarrow g'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).
Do đó \(g\left( x \right) = g\left( y \right) \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow \ln \left( {x + m} \right) = x\) \( \Leftrightarrow x + m = {e^x} \Leftrightarrow m = {e^x} - x = f\left( x \right)\,\,\left( 4 \right)\).
Dựa vào BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - x\) ở trên ta thấy phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ {1;2021} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\).
Vậy có 2021 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D