Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Với \(x > 0,\,\,y > 0,\,\,y \ne 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^{\ln y - 1}}.{y^{\sqrt {4 - {{\ln }^2}x} }} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _y}{x^{\ln y - 1}} + \sqrt {4 - {{\ln }^2}x} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\ln y - 1} \right){\log _y}x + \sqrt {4 - {{\ln }^2}x} = 0\\ \Leftrightarrow \ln x - {\log _y}x + \sqrt {4 - {{\ln }^2}x} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _y}x = \ln x + \sqrt {4 - {{\ln }^2}x} \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \ln x + \sqrt {4 - {{\ln }^2}x} ,\,\,x > 0\), \( - 2 \le x \le 2\).
Đặt \(t = \ln x,\,\, - 2 \le t \le 2\). Xét hàm \(f\left( t \right) = t + \sqrt {4 - {t^2}} \) ta có \(f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{t}{{\sqrt {4 - {t^2}} }}\).
Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{t}{{\sqrt {4 - {t^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {t^2}} = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\t = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\\t = - \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \ln x = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = {e^{\sqrt 2 }}\,\,\left( {tm} \right)\).
\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\) \( \Rightarrow \ln x = - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \(M.m = 2\sqrt 2 .\left( { - 2} \right) = - 4\sqrt 2 \).
Chọn B
