Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Dựa vào đồ thị ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4\).
Đồng nhất hệ số ta được: \(a =  - 1,\,\,b = 0,\,\,c = 4\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x\).
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4 \Rightarrow f''\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {f'\left( x \right)} \right)\) ta có \(g''\left( x \right) = f''\left( x \right).f'\left( {f'\left( x \right)} \right)\).
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f''\left( x \right) = 0\\f'\left( {f'\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f'\left( x \right) = 2\\f'\left( x \right) =  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\{x^3} - 3{x^2} + 4 = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3{x^2} + 4 =  - 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm nên phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 6 nghiệm, trong đó có 3 nghiệm bội chẵn của phương trình (1).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.
Xét hàm số \(h\left( x \right) = f'\left( {f\left( x \right)} \right)\) ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right).f''\left( {f\left( x \right)} \right)\).
Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f''\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\\\dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{1}{4}{x^4} - {x^3} + 4x = 2\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Do phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt nên phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có 6 nghiệm, trong đó nghiệm \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.
Vậy tổng số điểm cực trị của hai hàm \(g\left( x \right),\,\,h\left( x \right)\) là 8.
Chọn D