Giải thích các bước giải:
a.Ta có :
$\widehat{BIN}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\widehat{BAN}+\widehat{ABP}=\widehat{NBC}+\widehat{CBP}=\widehat{NBI}$
Vì $N,P,M$ nằm chính giữa cung BC,AC,AB
$\to\Delta BNI$ cân tại N
b.Vì M nằm chính giữa cung AB
$\to NM$ là phân giác $\widehat{ANB}$
$\to\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{NA}{NB}\to AE.BN=EB.AN$
c.Ta có : $N$ nằm chính giữa cung BC
$\to\widehat{EMI}=\widehat{NMC}=\widehat{BAN}=\widehat{EAI}$
$\to AMEI$ nội tiếp
$\to \widehat{MIE}=\widehat{MAB}=\widehat{MCB}$
$\to EI//BC$
d.Vì $EI//BC$
$\to\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{BA}{BD}$ vì BI là phân giác $\widehat{ABD}$
Mà $AE.BN=EB.AN\to\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AE}{EB}$
$\to\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{BA}{BD}$