Do a,b,c là 3 cạnh tam giác có chu vi là 3 nên 0<a,b,c≤3/2
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có:
(3/2-a)+(3/2-b)+(3/2-c) ≥ 3.∛[(3/2-a)(3/2-b)(3/2-c)]
⇔ 9/2-3 ≥ 3∛[(3/2-a)(3/2-b)(3/2-c)]
⇔1/2 ≥ ∛[(3/2-a)(3/2-b)(3/2-c)]
⇔(1/2)³ ≥ (3/2-a)(3/2-b)(3/2-c)
⇔1/8 ≥ 27/8 - 9/4.(a+b+c) + 3/2.(ab+bc+ca) - abc
⇔ 1/8 ≥ -27/8 + 3/2.(ab+bc+ca) - abc
⇔ abc ≥ -7/2 + 3/2.(ab+bc+ca)
⇔ 4abc ≥ -14+6(ab+bc+ca)
⇔ 3a²+3b²+3c²+4abc ≥ -14+3a²+3b²+3c²+6(ab+bc+ca)
⇔ 3a²+3b²+3c²+4abc ≥ -14+3(a+b+c)²
⇔ 3a²+3b²+3c²+4abc ≥ -14+27=13
⇔ 3a²+3b²+3c²+4abc ≥ 13
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c⇒ tam giác đều
