Cho hai số hữu tỉ \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) với \(b>0\), \(d>0\). Chứng tỏ rằng nếu \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)
Ta có : \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)(1) Thêm ab vào 2 vế của (1) : \(ad+ab< bc+ab\) \(a\left(d+b\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\text{ }\left(2\right)\) Thêm cd vào 2 vế của (1) : \(ad+cd< bc+cd\) \(d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\text{ }\left(3\right)\) Từ (2) và (3) ta có : \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)\(\left(đpcm\right)\)