Hai người thợ cùng làm 1 công việc dự định trong 12h thì xong. Họ cùng làm chung với nhau được 8h thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ 2 vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất lên gấp đôi nên người thứ 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3h20ph. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm 1 mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm xong công việc nói trên

Tam giác ABC có 3 góc nhọn và nội tiếp trong (O). Hai đường cao AD,BK cắt nhau tại H. Kéo dài BK cắt (O) tại F, vẽ đường kính BE của (O) và gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 3 điểm H,E,I thẳng hàng

2 đường tròn (O,R) và (O',r) cắt nhau tai hai điểm phân biệt A ,B .Vẽ tiếp tuyến chung MN thuộc nửa mặt phẳng chứa A có bờ OO' (M thuộc (O) ; n thuộc (O') . Dựng hình bình hành AMDN . Đường thẳng AB lần lượt cắt OO' và MN tại H và I .

a,OHIM nội tiếp

b, chứng minh A,B,D thẳng hàng

c, BD< hoặc bằng R+r

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng: 3((1/(x^2)+1)+(1/(y^2)+1)+(1/(z^2)+1))+((x^2)+1)((y^2)+1)((z^2)+1)≥(985/108)

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

(AB/CD)+(CD/AB)+(BC/AD)+(AD/BC) ≤ (IA/IC)+(IC/IA)+(IB/ID)+(ID/IB)

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC ( I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI; BI; CI lần lượt cắt BC; CA; AB tại M; N; P.
a) Chứng minh: (AI/AM) + (BI/BM) + (CI/CM) = 2
b) Chứng minh: (1/AM.BN) + (1/BN.CP) + (1/CP.AM) ≤ (4/(3(R−OI)2))

A=( √ x2 - 8x+ 16 ) +( √ x2 -24x+144)

cho ba điểm A(-1;6),B(-4;4),C(1;1)

tìm điểm D để ABCD là hình bình hành

cho a,b,c > 0. CM

Tìm số các số nguyên x thỏa mãn bất đẳng thức

(x-18)19 (x-19)18(x-2018)2019​​ 0

Tính :

+