Đáp án:
Đề bài: $\dfrac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} < 1$
\[\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\]
Áp dụng và cộng vế theo vế,ta được :
\[=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}<1(dpcm)\]
