a) Chứng minh thuận:
Ta có: ˆACB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: ˆBCD=90∘
CD = CB (gt)
Suy ra: ∆BCD vuông cân tại C.
⇒ˆCDB=45∘ hay ˆADB=45∘
AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45º dựng trên đoạn thẳng AB cố định.
Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.
− Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích.
− Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng ới B’ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45º vẽ trên AB.
Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ tùy ý trên cung BB’, nối AD’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’. Nối BC’, B’D’.
Ta có: ˆAD′B=45∘ (vì D’ nằm trên cung chứa góc 45º vẽ trên AB).
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
ˆAC′B=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ˆBC′D′=90∘
Suy ra: ∆BC’D’ vuông cân tại C’
