a. Kí hiệu như hình vẽ.
Trong \(\Delta GAB\) có: \(\widehat G = {180^0} - \frac{1}{2}(\widehat {xAB} - \widehat {yBA}) \)
mà \(\widehat {xAB} = \widehat B + \widehat C\) (góc ngoài tại A của \(\Delta ABC\))
\(\widehat {yBA} = \widehat A + \widehat C\) (góc ngoài tại B của \(\Delta ABC\)).
Suy ra
\(\widehat G = {180^0} - \frac{1}{2}(\widehat A + \widehat B + 2\widehat C)\)
\(= {180^0} - \frac{1}{2}({180^0} + \widehat C)\) vì \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)
\( = {90^0} - \frac{1}{2}\widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C - \widehat C}}{2}\)
Vậy \(\widehat G = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\)
Tương tự
\(\widehat F = \frac{{\widehat A + \widehat C}}{2}\)
\(\widehat E = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\)
b. Kẻ GH, GK, GM lần lượt vuông góc với AC, AB, BC.
Ta có: GH = GK (vì G thuộc phân giác \(\widehat {xAB}\) )
GK = GM (vì G thuộc phân giác \(\widehat {yBA}\))
Suy ra GH = GM, nên G nằm trên đương phân giác của \(\widehat {ACB}\) hay đường phân giác của góc C đi qua G.
Tương tự đường phân giác của góc B đi qua F, đường phân giác của góc A đi qua E.
