a. Ta có
AD là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên
\(\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {60^0}\)
Do đó \(ADE = {30^0} \) (cùng phụ với \(\widehat {BAD}\))
\(\widehat {ADF} = {30^0}\) (cùng phụ với \(\widehat {DAC}\))
Nên \(\widehat {EDF} = {60^0}\) (1)
Hai tam giác vuông AED và AFD có:
AD cạnh huyền chung
\(\widehat {AED} = \widehat {FAD}\) (cmt)
Nên \(\Delta AED = \Delta {\rm{AF}}D\) (cạnh huyền, góc nhọn )
Suy ra DE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta D{\rm{EF}}\) là tam giác đều
b. Ta có \(\widehat {CAM} + \widehat {BAC} = {180^0}\)
Hay \(\widehat {CAM} + {120^0} = {180^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {CAM} = {60^0}\)
Mặt khác \(\widehat {ACM} = \widehat {CAD} = {60^0}\) (AD // CM, so le trong)
Nên \(\Delta ACM\) có 2 góc \(\widehat {ACM} = \widehat {CAM} = {60^0}\) nên là tam giác đều
c. Lấy I là trung điểm của AD
Ta có FI = AI
\(\Delta {\rm{AIF}}\) có IA = IF và \(\widehat {{\rm{IAF}}} = {60^0}\) (do AD là phân giác của \(\widehat {AEF} = {120^0}\), gt)
Nên là tam giác đều. Do đó DA = 2IA = 2AF
Ta có: AF = AC – FC = CM – CF = a – b
Vậy AD = 2(a – b)
