Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Giải chi tiết:Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - xy + 2{y^2}}  \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + y} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - xy + 2{y^2} \ge \frac{3}{4}\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)Vậy \(S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{{x + y}}{{x + y + 2z}} + \frac{{y + z}}{{2x + y + z}} + \frac{{z + x}}{{x + 2y + z}}} \right)\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\y + z = b\\z + x = c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)\)Có  \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{a\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{b\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{c\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (Cauchy – Schwarz)Lại có \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)\( \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)Suy ra \(S \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{2} \Rightarrow S \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\).