Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

1) Ta chứng minh \(AI\) là phân giác góc \(BAC\).2) a) Ta sẽ chứng minh \(\widehat {ODM} = \widehat {ODE} \Rightarrow M,E,D\) thẳng hàng     b) Đầu tiên, ta chứng minh \(E,I,F\) thẳng hàng, sau đó sử dụng bắc cầu góc để chứng minh tứ giác \(DIFC\) nội tiếp .Giải chi tiết:Ta có: \(MA = MI\) nên \(\widehat {MAI} = \widehat {MIA}\)Mặt khác \(\angle MAI = \widehat {MAB} + \widehat {BAI};\widehat {MIA} = \widehat {MCA} + \widehat {IAC}\)Mà \(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {IAC}\)Suy ra \(AI,CI\) là các phân giác trong tam giác \(ABC\) nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).a) Ta có: \(D,O,O'\) thẳng hàng và \(OM{\rm{ // }}O'E\) vì cùng vuông góc \(AB\) nên \(\widehat {MOD} = \widehat {EO'D} \Rightarrow 180^\circ  - \widehat {MOD} = 180^\circ  - \widehat {EO'D}\)Do đó \(2\widehat {ODM} = 2\widehat {ODE} \Rightarrow \widehat {ODM} = \widehat {ODE} \Rightarrow M,E,D\) thẳng hàng.b)  Hoàn toàn tương tự, nếu gọi \(N\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(AC\) của đường tròn \(O\) thì \(D,F,N\) thẳng hàng và \(NA = NI.\)Có \(\Delta AME \sim \Delta DMA\left( {g.g} \right) \Rightarrow A{M^2} = ME.MD \Rightarrow M{I^2} = ME.MD \Rightarrow \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MD}}{{MI}}\)Suy ra \(\Delta MIE \sim \Delta MDI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {MIE} = \widehat {MDI}\)Tương tự có \(\widehat {NIF} = \widehat {NDI}\)Suy ra  \(\widehat {EIF} = \widehat {EIM} + \widehat {MIN} + \widehat {NIF} = \widehat {MDI} + \widehat {MIN} + \widehat {NIF} = \widehat {MDN} + \widehat {MIN}\)Lại có \(\widehat {MIN} = \widehat {MIA} + \widehat {NIA} = \widehat {MAI} + \widehat {NAI} = \widehat {MAN}\)Suy ra \(\widehat {EIF} = \widehat {MDN} + \widehat {MAN} = 180^\circ  \Rightarrow E,I,F\) thẳng hàng.Khi đó, \(\widehat {ICD} = \frac{1}{2}\widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {EO'D} = \widehat {EFD}\)Suy ra tứ giác \(IFCD\) nội tiếp.