Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Nhận đấy phương trình luôn có bốn nghiệm phân biệt, ta tính và sắp xếp thứ tự cho bốn nghiệm đó, sau đó thay trực tiếp vào giả thiết.Giải chi tiết:Gọi phương trình ban đầu là \(\left( * \right)\). Xét hai phương trình:\(\begin{array}{l}2{x^2} + x - {m^2} + 2m - 15 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + 3x - {m^2} + 2m - 14 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)Ta có:\({\Delta _{\left( 1 \right)}} = {\Delta _{\left( 2 \right)}} = 8{m^2} - 16m + 121 = 8{\left( {m - 1} \right)^2} + 113 > 0\)Vậy hai phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)Đặt \(T = \sqrt {{\Delta _{\left( 1 \right)}}}  = \sqrt {{\Delta _{\left( 2 \right)}}}  = \sqrt {8{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 113}  \ge \sqrt {113} \)Phương trình (1) có hai nghiệm \(\frac{{ - 1 \pm T}}{4}\)Phương trình (2) có hai nghiệm là: \(\frac{{ - 3 \pm T}}{4}\)Nhận thấy rằng \(\frac{{ - 1 + T}}{4} > \frac{{ - 3 + T}}{4} > 0\)và \(\frac{{ - 3 - T}}{4} < \frac{{ - 1 + T}}{4} < 0.\)Suy ra phương trình (1) và (2) không có nghiệm chungTừ đó suy ra phương trình \(\left( * \right)\)có bốn nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = {\left( {\frac{{ - 1 + T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 1 - T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3 + T}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3 - T}}{4}} \right)^2} = \frac{{{T^2} + 5}}{4}\)Không mất tính tổng quát, giả sử \({x_3} > {x_2}\)Giả sử tồn tại \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 3{x_2}{x_3}\left( {**} \right)\)\( \Rightarrow 3{x_2}{x_3} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} > 0\). Suy ra \({x_2},{x_3}\)cùng dương hoặc cùng âm\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{x_2};{x_3}} \right) = \left( {\frac{{ - 3 + T}}{4};\frac{{ - 1 + T}}{4}} \right)\\\left( {{x_2};{x_3}} \right) = \left( {\frac{{ - 3 - T}}{4};\frac{{ - 1 - T}}{4}} \right)\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}TH1:{x_2} = \frac{{ - 3 + T}}{4};{x_3} = \frac{{ - 1 + T}}{4}\\ \Leftrightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 3.\frac{{3 + 4T + {T^2}}}{{16}} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} \Leftrightarrow 9 + 12T + 3{T^2} = 4{T^2} + 20\\ \Leftrightarrow {T^2} - 2T + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T = 1(ktm\,\,do\,\,T > \sqrt {113} )\\T = 11(tm) \Rightarrow 8{m^2} - 16m + 121 = {T^2} = 121 \Rightarrow 8{m^2} - 16m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{l}TH2:{x_2} = \frac{{ - 3 - T}}{4},{x_3} = \frac{{ - 1 - T}}{4}\\ \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 3.\frac{{3 - 4T + {T^2}}}{{16}} = \frac{{{T^2} + 5}}{4} \Leftrightarrow 9 - 12T + 3{T^2} = 4{T^2} + 20\\ \Leftrightarrow {T^2} + 12T + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T =  - 1\\T =  - 11\end{array} \right.(ktm\,\,do\,\,T > 0)\end{array}\)Vậy \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\).