Đáp án:
$+)$ Dễ thấy $AA',BB',CC'$ là các đường phân giác trong $ΔABC$
$→AA',BB',CC'$ đồng quy
$+)$ Ta có: $\widehat{ARQ}=180^{\circ}-\dfrac{\widehat{C}}{2}-\widehat{A}-\dfrac{\widehat{B}}{2}=\widehat{AQR}$
$\to AR=AQ$
Dễ thấy: $AI\;\bot\; RQ$ do $\widehat{RAI}+\widehat{ARQ}=\dfrac{\widehat{A}}{2}+90^{\circ}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90^{\circ}$
$\widehat{IBR}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\widehat{CC'B'} \to \Diamond BC'RI$ nội tiếp
\[\to \widehat{QRI}=\widehat{IBC'}=\dfrac{\widehat{B}}{2}+\dfrac{\widehat{C}}{2}=\widehat{ARQ}\to \widehat{IRQ}=\widehat{QRA}=\widehat{AQR}=\widehat{RQI}\]
$ \Diamond BC'RI$ nội tiếp $\to IQAR$ là hình thoi
$+)$ Chứng minh tượng tự:
$\Diamond BSIM; CPIN$ là hình thoi
$\widehat{MC'C}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{SAI} \to \Diamond SC'AI$ nội tiếp
Tương tự: $\Diamond IAB'P$ nội tiếp
\[\to \widehat{AIS}=180-\widehat{A'C'A}=\widehat{AB'A'}=180-\widehat{PIA} \to \overline{SIP}\]
Tương tự, ta cũng có: $\overline{RIN};\overline{MIQ}$
$BS=BM;SR=MN \to BR=BN$
mà $\widehat{BRN}=180-\widehat{IRA}=180-\widehat{A} \to NR//AC \to AB=BC$
CMTT các trường hợp còn lại $\to \Delta$ ABC đều
