Ta có :
$AB+AC < AH + BC$
$⇒ (AH+BC)^2 > (AB+AC)^2$
$⇒AH^2+BC^2+2.AH.BC > AB^2+AC^2+2.AC.AB (*)$
Vì $∠A = 90 ^o$
$⇒AB^2+AC^2=BC^2 (1) $ ( Định lý Pytago )
Lại có : $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.AB.AC $
$⇒ 2.AH .BC = 2.AB.AC (2)$
Từ $(*),(1),(2) ⇒ AH^2 > 0 $ ( Điều này đúng )
Vậy : $AB+AC < AH+BC$