Đáp án:
$\begin{array}{l}
a){y_0} = m.{x_0} - 2m - 1\forall m\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right).m = {y_0} + 1\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} - 2 = 0\\
{y_0} + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{y_0} = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy d luôn đi qua điểm (2;-1) với mọi m
b)
$\begin{array}{l}
d:y = mx - 2m - 1\\
\Rightarrow mx - y - 2m - 1 = 0\\
\Rightarrow {d_{O - d}} = \frac{{\left| {0.m - 0 - 2m - 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\\
\Rightarrow {d^2} = \frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 1}}\\
\Rightarrow {d^2}.{m^2} + {d^2} = 4{m^2} + 4m + 1\\
\Rightarrow \left( {4 - {d^2}} \right){m^2} + 4m + 1 - {d^2} = 0\left( * \right)\\
\Rightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Rightarrow 4 - \left( {4 - {d^2}} \right)\left( {1 - {d^2}} \right) \ge 0\\
\Rightarrow 4 - 4 + 5{d^2} - {d^4} \ge 0\\
\Rightarrow {d^4} - 5{d^2} \le 0\\
\Rightarrow {d^2}\left( {{d^2} - 5} \right) \le 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
d = 0\\
- \sqrt 5 \le d \le \sqrt 5
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 5 \\
\Rightarrow \left( * \right):\left( {4 - {d^2}} \right){m^2} + 4m + 1 - {d^2} = 0\\
\Rightarrow - {m^2} + 4m - 4 = 0\\
\Rightarrow m = 2
\end{array}$
Vậy m=2 thì khoảng cách từ O đến d đạt max = √5