Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Dùng hằng đẳng thức phân tích và rút gọn biểu thức \(P\)
b) Sử dụng định lý Bezout và tính chẵn lẻ của hai số nguyên liên tiếpGiải chi tiết:a) Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}.\) Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số để \(P\) có giá trị là số chính phương.
Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).
\(\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 2\sqrt {x - 1} }}\\P = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {x - 1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}}\\P = {\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)^2}\end{array}\)
Để \(P\) có giá trị là số chính phương thì \(x - 1 = {t^2}\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow x = {t^2} + 1\)
Ta có \(x\) có hai chữ số \( \Leftrightarrow x \le 99 \Leftrightarrow {t^2} \le 98 \Rightarrow t \le 9\) (do \(t \in \mathbb{N}\) )
Vậy số tự nhiên \(x\) lớn nhất có hai chữ số là \(x = {9^2} + 1 = 82\) thì \(P\) có giá trị là số chính phương.
b) Cho \(P\left( x \right)\) là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7.\) Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.
Giả sử \(P\left( x \right)\) có nghiệm nguyên là \(x = a \Rightarrow P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) cũng là một đa thức có tất cả các hệ số đều là số nguyên.
Khi đó \(P\left( 0 \right) =  - a.Q\left( 0 \right)\) và \(P\left( 1 \right) = \left( {1 - a} \right).Q\left( 1 \right)\)
Vì \(a\) và \(a - 1\) là hai số nguyên liên tiếp nên một trong hai số là số chẵn, suy ra \(P\left( 0 \right)\) chẵn hoặc \(P\left( 1 \right)\) chẵn. Mà \(P\left( 0 \right) = 21;P\left( 1 \right) = 7\) nên \(P\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên.