Đáp án:
a) Gọi điểm cố định là
$\begin{array}{l}
M\left( {x;y} \right)\\
\Leftrightarrow y = \left( {m + 1} \right).x + 3 - m\forall x\\
\Leftrightarrow m.x + x + 3 - m = y\forall x\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right).m = y - x - 3\forall x\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
y - x - 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = x + 3 = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow M\left( {1;4} \right)
\end{array}$
Vậy d luôn đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$
b) Xét pt hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}
{x^2} = \left( {m + 1} \right).x + 3 - m\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right).x + m - 3 = 0\\
\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right)\\
= {m^2} + 2m + 1 - 4m + 12\\
= {m^2} - 2m + 1 + 12\\
= {\left( {m - 1} \right)^2} + 12 > 0
\end{array}$
=> chúng luôn cắt tại 2 điểm phân biệt
$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m + 1\\
{x_1}{x_2} = m - 3
\end{array} \right.\\
Khi:{x_1} < 2 < {x_2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\\
\Leftrightarrow m - 3 - 2\left( {m + 1} \right) + 4 < 0\\
\Leftrightarrow m - 3 - 2m - 2 + 4 < 0\\
\Leftrightarrow m > - 1\\
Vậy\,m > - 1
\end{array}$
