Đáp án đúng:
Giải chi tiết:a) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: \(\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}}\)
Áp dụng định lý hàm số sin ta có: \(a = 2R.\sin A\,\,;\,\,b = 2R.\sin B\,\,;\,\,c = 2R.\sin C\)
Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng \({180^0} \Rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = {180^0}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2bc}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2.2R.\sin B.2R.\sin C}}{{4{R^2}.{{\sin }^2}A}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right) = \frac{{2\sin B.\sin C}}{{{{\sin }^2}A}} \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\sin ^2}A = \cos \left( {B - C} \right) - \cos \left( {B + C} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right)\left( {1 - {{\sin }^2}A} \right) - \cos \left( {{{180}^o} - A} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {B - C} \right).{\cos ^2}A + \cos A = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ {\cos \left( {B - C} \right)\cos A + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A\left[ { - \cos \left( {B - C} \right)\cos \left( {B + C} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos A.\left[ {1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right)} \right] = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
 Vì A, B, C là các góc trong tam giác \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ne 0\\C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2B \ne 0\\2C \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2B \ne 1\\\cos 2C \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}\left( {\cos 2B + \cos 2C} \right) \ne 0\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos A = 0 \Leftrightarrow \angle A = \frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {do\,\,\angle A > 0} \right)\) 
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
b)
                       
Gọi M là trung điểm của đoạn AB \( \Rightarrow M\left( {4; - 1} \right)\)
Gọi O là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB\,\,\,\left( {OA = OB,MA = MB} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0;4} \right)\) là 1 VTPT của OM
\( \Rightarrow \) Phương trình OM : \(4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4y + 4 = 0\)
Gọi I  là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại A và B
\( \Rightarrow IA = IB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow I \in OM\) mà \(I \in \left( d \right)\) (gt)
\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + 6y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {6; - 1} \right)\)
Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại A
\( \Rightarrow IA \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - 2; - 2} \right)\) là 1 VTPT của OA
\( \Rightarrow \) Phương trình OA :
 \( - 2\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}O \in OM\\O \in OA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y + 4 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {2; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow {R^2} = O{A^2} = {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( { - 3 + 1} \right)^2} = 8\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)