a) Do đa thức $B(x)$ chia cho $x-2$ dư 5 nên tồn tại đa thức $f(x)$ sao cho
$B(x) = (x-2).f(x) + 5$
$\Leftrightarrow (x-3)B(x) = (x-2)(x-3).f(x) + 5(x-3)$
Mặc khát, do đa thức $B(x)$ chia cho $x-3$ dư 7 nên tồn tại đa thức $g(x)$ sao cho
$B(x) = (x-3).g(x) + 7$
$\Leftrightarrow (x-2)B(x) = (x-2)(x-3)g(x) + 7(x-2)$
Lấy đa thức dưới trừ đa thức trên ta có
$[(x-2) - (x-3)]B(x) = (x-2)(x-3)[g(x) - f(x)] + 7(x-3) - 5(x-3)$
$\Leftrightarrow B(x) = (x-2)(x-3)[g(x) - f(x)] + 2x -6$
Ta thấy $(x-2)(x-3)[g(x) - f(x)]$ chia hết cho $(x-2)(x-3)$. Do đó đa thức $B(x)$ chia cho $(x-2)(x-3)$ dư $2x-6$.
b) Do đa thức $B(x)$ chia $x^2-1$ được thương là $2x$ nên đa thức $B(x)$ phải là một đa thức bậc 3.
Do đa thức $B(x)$ chia $x-1$ dư $-3$ nên tồn tại đa thức $f(x)$ sao cho
$B(x) = (x-1)f(x) - 3$
$\Leftrightarrow (x+1)B(x) = (x^2-1)f(x) - 3(x+1)$
Do đa thức $B(x)$ chia $x+1)$ dư $3$ nên tồn tại đa thức $g(x)$ sao cho
$B(x) = (x+1)g(x) + 3$
$\Leftrightarrow (x-1)B(x) = (x^2-1)g(x) + 3(x-1)$
Lấy đa thức trên trừ dưới ta có
$[(x+1) - (x-1)]B(x) = (x^2-1)[f(x) - g(x)] -6x$
$\Leftrightarrow B(x) = (x^2-1).\dfrac{f(x) - g(x)}{2} - 3x$
Do đa thức $B(x)$ chia $x^2-1$ được thương là $2x$ nên ta có
$\dfrac{f(x) - g(x)}{2} = 2x$
$\Leftrightarrow f(x) - g(x) = 4x$
$\Leftrightarrow f(x) = g(x) + 4x$
THay vào đa thức đầu tiên ta có
$B(x) = (x-1)[g(x) + 4x] - 3$
Lại có $B(x) = (x+1)g(x) + 3$
Lấy đa thức dưới trừ trên ta có
$0 = [(x+1) - (x-1)]g(x) + 3 - 4x(x-1) + 3$
$\Leftrightarrow 2g(x) - 4x^2 + 4x + 6 = 0$
$\Leftrightarrow g(x) = 2x^2 - 2x - 3$
Vậy đa thức cần tìm là
$B(x) = (x+1)(2x^2 - 2x - 3) + 3$
$\Leftrightarrow B(x) = 2x^3 -5x$
Vậy $B(x) = 2x^3 - 5x$
