Đáp án: a.$n=3$
Giải thích các bước giải:
a.Đặt $y^2=n^4+n^3+n^2+n+1, y\in N$
$\to 4y^2=4n^4+4n^3+4n^2+4n+4$
$\to 4y^2-(2n^2+n)^2=(4n^4+4n^3+4n^2+4n+4)-(4n^4+4n^3+n^2)=3n^2+4n+4>0$
$\to 4y^2>(2n^2+n)^2$
Mà $4y^2-(2n^2+n+1)^2=(4n^4+4n^3+4n^2+4n+4)-(2n^2+n+1)^2$
$\to 4y^2-(2n^2+n+1)^2=-n^2+2n+3$
$\to 4y^2-(2n^2+n+1)^2=-(n-1)^2+4<0$ khi $n> 3$
$\to 4y^2<(2n^2+n+1)^2$
$+) n=1,2,3$ thay vào $y^2=n^4+n^3+n^2+n+1\to n=3$
$+) n>3\to (2n^2+n)^2<4y^2<(2n^2+n+1)^2$
Không tồn tại y
b.Đặt $\dfrac{ab}{c}=x, \dfrac{bc}{a}=y,\dfrac{ca}{b}=z$
$\to a^2=xz ,b^2=xy, c^2=yz$
$\to xy+yz+zx=3$
$\to$Cần chứng minh $x+y+z\ge 3$
Thật vậy
$x+y+z$
$=\sqrt{(x+y+z)^2}$
$\ge \sqrt{3(xy+yz+zx)^2}$
$\ge 3$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$
$\to a=b=c=1$
