Đáp án:
$MN=\frac{lv_2\cos{\alpha}}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos{\alpha}}}$
Giải thích các bước giải:
Trọn hệ trục toạ độ $Oxy$ có $Ox$ trùng với $\vec{AB}$, $Oy$ vuông góc với $\vec{AB}$
Phương trình chuyển của từ vật:
- Vật M:
$x_M=v_1.t$
$y_M=0$
- Vật N:
$x_N=l-v_2\cos{\alpha}.t$
$y_M=v_2\sin{\alpha}.t$
Vậy khoảng cách của 2 vật chính là độ dài $MN$, va theo hình học toạ độ:
$MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}$
$=\sqrt{(v_1-\frac{l}{t}+v_2\cos{\alpha})^2t^2 +(v_2\sin{\alpha})^2t^2}$
$=t\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos{\alpha}+\frac{l^2}{t^2}-(v_1+v_2\cos{\alpha})\frac{2l}{t}}$
$=\sqrt{(v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos{\alpha})t^2-2lt(v_1+v_2\cos{\alpha})+l^2}$
Biểu thức dưới dấu ' $\sqrt{}$' là hàm số bậc 2 biến $t$, đạt giá trị nhỏ nhất khi:
$t=\frac{l(v_1+v_2\cos{\alpha})}{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos{\alpha}}$
Khi đó ta có:
$MN_{min}=\frac{lv_2\cos{\alpha}}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+2v_1v_2\cos{\alpha}}}$
