`a)` `AB;AC` lần lượt là tiếp tuyến tại $B;C$ của `(O)`
`=>\hat{ABO}=\hat{ACO}=90°`
`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{ABO};\hat{ACO}` ở vị trí đối nhau
`=>ABOC` nội tiếp
$\\$
`b)` `AB;AC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$
`=>AB=AC`
Mà $OB=OC=R$
`=>OA` là đường trung trực của $BC$
Vì $OA$ cắt $BC$ tại $H$
`=>OA`$\perp BC$ tại $H$
$\\$
Xét $∆ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp OA$
`=>AB^2=AH.AO` (hệ thức lượng) $(1)$
$\\$
Xét $∆ABE$ và $∆AFB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ABE}=\hat{AFB}` (cùng chắn cung $BE$)
`=>∆ABE∽∆AFB` (g-g)
`=>{AB}/{AF}={AE}/{AB}`
`=>AB^2=AE.AF` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>AH.AO=AE.AF`
$\\$
`c)` $M$ là trung điểm $EF$ (gt)
`=>OM`$\perp EF$ tại $M$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>\hat{AMO}=90°`
$\\$
Xét $∆AHK$ và $∆AMO$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AHK}=\hat{AMO}=90°`
`=>∆AHK∽∆AMO` (g-g)
`=>{AH}/{AM}={AK}/{AO}`
`=>AH.AO=AM.AK`
Mà $AH.AO=AE.AF$ (câu b)
`=>AM.AK=AE.AF`
`<=>(AE+EM).AK=AE.AF`
`<=>(AE+1/ 2 EF).AK=AE.AF` (do $M$ là trung điểm $EF$)
`<=>1/ 2 (2AE+EF).AK=AE.AF`
`<=>1/ 2 .(2AE+AF-AE).AK=AE.AF`
`<=>1/ 2 . AK.(AF+AE)=AE.AF`
`<=>{AK.(AF+AE)}/{AE.AF}=2`
`<=>AK. ({AF}/{AE.AF}+{AE}/{AE.AF})=2`
`<=>AK.(1/{AE}+1/{AF})=2`
`<=>{AK}/{AE}+{AK}/{AF}=2`
