Giải thích các bước giải:

Ta có: $\Delta DHI$ vuông tại H và $\widehat{DAI}=60^o$

Suy ra DHI là nửa tam giác đều.

$AH=HI=DI=AI=\dfrac{AD}{2}; \widehat{IHD}=30^o$

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l}
AH = AI\\
\widehat Achung\\
AC = AB
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AHC = \Delta AIB(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {ABI}$

$\to BHIC$ nội tiếp.

Mà $\widehat {BHE} + \widehat {BCE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\to BHEC$ nội tiếp

$\to B,H,I,C,E$ cùng thuộc 1 đường tròn.

$\to BHIE$ nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {BIE} = \widehat {BHE} = {90^0};\widehat {IBE} = \widehat {IHE} = {30^0}$

Suy ra tam giác BIE là nửa tam giác đều 

Xét $ΔHAD$ vuông tại $H$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $DA$

⇒ $HI = IA = ID$

⇒ $ΔHAI$ cân tại $I$

mà $\widehat{A} = 60^o \, (gt)$

⇒ $ΔHAI$ đều

⇒ $AH = IH = ID$

⇒ $HB = HC$

Xét $ΔHBC$ và $ΔICB$ có:

$BC:$ cạnh chung

$HB = HC \, (cmt)$

$\widehat{HBC} = \widehat{ICB} = 60^o \, (gt)$

Do đó $ΔHBC = ΔICB\, (c.g.c)$

⇒ $\widehat{BHC} = \widehat{BIC}$

Xét tứ giác $BCIH$ có:

$\widehat{BHC} = \widehat{BIC} \, (cmt)$

$\widehat{BHC} \, và \, \widehat{BIC}$ cùng nhìn cạnh $BC$

Do đó $BCIH$ là tứ giác nội tiếp

⇒ $B, C, I, H$ cùng thuộc một đường tròn $(1)$

Xét tứ giác $BHEC$ có:

$\widehat{BHE} = 90^o \, (DH\perp AB)$

$\widehat{BCE} = 90^o \, (EC\perp BC)$

⇒ $\widehat{BHE} + \widehat{BCE} = 180^o$

Do đó $BHEC$ là tứ giác nội tiếp

⇒ $B, H, E, C$ cùng thuộc một đường tròn $(2)$

Từ $(1)(2) ⇒ B, H, I, E, C$ cùng thuộc một đường tròn.

Mặt khác, $\widehat{BHE} = \widehat{BCE} = 90^o$

⇒ $BE$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác $BHIEC$

⇒ $\widehat{BIE} = 90^o$ (nhìn đường kính $BE$)

⇒ $ΔBIE$ vuông tại $I$ $(3)$

Ta có:

$\widehat{IEB} = \widehat{ICB}$ (cùng nhìn cạn $IB$)

mà $\widehat{ICB} = 60^o$

nên $\widehat{IEB} = 60^o$ $(4)$

Từ $(3)(4) ⇒ ΔBIE$ là nửa tam giác đều cạnh $BE$