`\qquad x^2-5x+3=0`
Ta có:
`a=1;b=-5;c=3`
$∆=b^2-4ac=(-5)^2-4.1.3=13>0$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
Theo hệ thức Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=5`
`x_1+x_2=c/a=3`
$\\$
Ta có:
`\qquad (x_1-x_2)^2`
`=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2`
`=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2`
`=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2`
`=5^2-4.3=13`
`=>|x_1-x_2|=\sqrt{13}`
$\\$
Đặt `A=x_1^5-x_2^5`
`A=(x_1^3+x_2^3)(x_1^2-x_2^2)+x_1^3x_2^2-x_1^2x_2^3`
`A=[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)](x_1+x_2)(x_1-x_2)]+(x_1x_2)^2(x_1-x_2)`
`A=(x_1-x_2){[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)](x_1+x_2)+(x_1x_2)^2}`
$\\$
+) Nếu `x_1>x_2=>x_1-x_2=\sqrt{13}`
Ta có:
`A=\sqrt{13}[(5^3-3.3.5).5+3^2]=409\sqrt{13}`
$\\$
+) Nếu `x_1<x_2=>x_1-x_2=-\sqrt{13}`
Ta có:
`A=-\sqrt{13}.[(5^3-3.3.5).5+3^2]=-409\sqrt{13}`
Vậy:
+) `x_1^5-x_2^5=409\sqrt{13}` với $x_1>x_2$
+) `x_1^5-x_2^5=-409\sqrt{13}` với $x_1<x_2$
