`a)`
Xét `2Δ` vuông `ABM` và `ECM` có:
`BM=CM(g``t)`
`hat{M_1}=hat{M_2}(2` góc đối đỉnh `)`
`⇒ΔABM=ΔECM(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`
`⇒AM=EM(2` cạnh tương ứng `)`
Xét tứ giác `ABEC` có:
`AM=EM(cmt)`
`BM=CM(g``t)`
`⇒` tứ giác `ABEC` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Vì tứ giác `ABCD` là hình chữ nhật
`⇒AB=DC(` tính chất hình chữ nhật `)(1)`
Vì tứ giác `ABEC` là hình bình hành
`⇒AB=EC(` tính chất hình bình hành `)(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒DC=EC`
Vì `DI``/``/``BE(g``t)`
`⇒hat{D_1}=hat{BEC}(2` góc so le trong `)`
Xét `2Δ` vuông `DCI` và `ECB` có:
`DC=EC(cmt)`
`hat{D_1}=hat{BEC}(cmt)`
`⇒ΔDCI=ΔECB(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`
`⇒DI=EB(2` cạnh tương ứng `)`
Xét tứ giác `BEID` có:
`DI=EB(cmt)`
`DI``/``/``BE(g``t)`
`⇒` tứ giác `BEID` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối diện song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
Mà `BI⊥DE(g``t)`
`⇒BEID` là hình thoi `(` hình bình hành có `2` đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi `)(đpcm)`
`c)`
Vì tứ giác `ABCD` là hình chữ nhật
`⇒DO=BO(` tính chất hình chữ nhật `)`
Vì tứ giác `BEID` là hình thoi
`⇒DC=EC(` tính chất hình thoi `)`
`DI=BE(` tính chất hình thoi `)(3)`
Xét `ΔBDE` có:
`DO=BO(cmt)`
`DC=EC(cmt)`
`⇒OC` là đường trung bình của `ΔBDE`
`⇒OC=1/2BE(` tính chất đường trung bình của `Δ)(4)`
Xét `ΔDEI` có:
`DC=EC(cmt)`
`IK=EK(g``t)`
`⇒CK` là đường trung bình của `ΔDEI`
`⇒CK=1/2DI(` tính chất đường trung bình của `Δ)(5)`
Từ `(3),(4)` và `(5)⇒CK=OC`
`⇒C` là trung điểm của `OK(đpcm)`
