Đáp án:
`m\in {-1;1}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-2mx+m^2-2=0`
`∆'=b'^2-ac=(-m)^2-1.(m^2-2)=2>0`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-2\end{cases}$
$\\$
Ta có:
`\qquad (x_1-x_2)^2`
`=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2`
`=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2`
`=(2m)^2-4.(m^2-2)=8`
`=>|x_1-x_2|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}`
$\\$
Để `|x_1^3-x_2^3|=10\sqrt{2}`
`<=>|(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)|=10\sqrt{2}`
`<=>|x_1-x_2|.|(x_1+x_2)^2-x_1x_2|=10\sqrt{2}`
`<=>2\sqrt{2}.|(2m)^2-(m^2-2)|=10\sqrt{2}`
`<=>|3m^2+2|=5`
`<=>3m^2+2=5` (vì `3m^2+2\ge 2>0` với mọi `m`)
`<=>3m^2=3`
`<=>m^2=1`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=1\\m=-1\end{array}\right.$
Vậy `m\in {-1;1}` thỏa đề bài
