Đáp án:
Giải thích các bước giải:
${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+m-6=0$
a)
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac$
$\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}+m-6 \right)$
$\Delta =4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-4m+24$
$\Delta =25>0$
Vì $\Delta >0$ nên phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt
b)
$\bullet \,\,\,\,\,$Theo định lý Vi – et, ta có:
$\begin{cases}x+y=\frac{b}{a}=2m+1\\x.y=\frac{c}{a}=m^2+m-6\end{cases}$
$A={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$
$A={{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$A={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$A={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+m-6 \right)$
$A=4{{m}^{2}}+4m+1-2{{m}^{2}}-2m+12$
$A=2{{m}^{2}}+2m+13$
$A=\left( 2{{m}^{2}}+2m+\frac{1}{2} \right)+\frac{25}{2}$
$A={{\left( m\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+\frac{25}{2}\ge \frac{25}{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $m\sqrt{2}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\frac{25}{2}$ tại $m=-\frac{1}{2}$
