a) Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta ABN\), có:
AM = AB (\(\Delta AMB \) vuông cân)
AC = AN (\(\Delta ACN\) vuông cân)
\(\angle MAC = \angle NAC ( = 90^0 + \angle BAC)\)
Suy ra \(\Delta AMC = \Delta ABN\) (c - g - c)
b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Xét KIC và \(\Delta AIN\), có:
\( \angle ANI = \angle KCI (\Delta AMC = \Delta ABN)\)
\(\angle AIN = \angle KIC\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow \angle IKC = \angle NAI = 90^0\), do đó: \(MC \bot BN\)
c) Kẻ \(ME \bot AH\) tại E, \(NF \bot AH\) tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: \(\angle BAH + \angle MAE = 90^0\)(vì \(\angle MAB = 90^0\))
Lại có \(\angle MAE + \angle AME = 90^0\), nên \(\angle AME = \angle BAH\)
Xét \(\Delta MAE\) và \(\Delta ABH\) , vuông tại E và H, có:
\(\angle AME = \angle BAH\) (chứng minh trên)
MA = AB
Suy ra \(\Delta MAE = \Delta ABH\) (cạnh huyền-góc nhọn)
\( \Rightarrow ME = AH\)
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta AFN = \Delta CHA\)
\(\Rightarrow FN = AH\)
Xét \(\Delta MED\) và \(\Delta NFD\), vuông tại E và F, có:
ME = NF (= AH)
\(\angle EMD = \angle FND\) (phụ với \(\angle MDE\) và \(\angle FDN\), mà \(\angle MDE =\angle FDN\))
\(\Rightarrow \Delta MED = \Delta NFD \Rightarrow BD = ND.\)
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
