Câu 1:

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được $1$ sản phẩm tốt"

$\quad B$ là biến cố: "Lấy được sản phẩm từ hộp $II$"

a) Xác suất lấy được sản phẩm tốt từ hộp $I$

$P_1 = \dfrac12\cdot \dfrac{C_{10}^1}{C_{12}^1}=\dfrac{5}{12}$

Xác suất lấy được sản phẩm tốt từ hộp $II:$

$P_2 = \dfrac12\cdot\dfrac{C_{20}^1}{C_{24}^1}=\dfrac{5}{12}$

Xác suất lấy được sản phẩm tốt:

$P(A) = \dfrac{5}{12} +\dfrac{5}{12} =\dfrac56$

b) Lấy riêng hộp $II$, xác suất lấy được sản phẩm tốt là:

$P(A/B) = \cdot\dfrac{C_{20}^1}{C_{24}^1}=\dfrac{5}{6}$

Nếu nhận được sản phẩm tốt, xác suất lấy được sản phẩm này từ hộp $II$ là:

$P(B/A) = \dfrac{P(BA)}{P(A)}$

$\qquad =\dfrac{P(A/B).P(B)}{P(A)}$

$\qquad = \dfrac{\dfrac56\cdot \dfrac12}{\dfrac56}$

$\qquad =\dfrac12$

Câu 2:

Gọi $X$ là số cuộc gọi đến tổng đài đặt chỗ của hãng hàng không $H\ \ (X = 1,2,3,\dots)$

Ta có:

$60$ phút $\longrightarrow 48$ cuộc gọi

$5$ phút $\longrightarrow\ ?$ cuộc gọi

Ta được: $\lambda = \dfrac{5\times 48}{60} = 4$

Khi đó: $X \sim P(4)$

a) Xác suất có `3` cuộc gọi trong `5` phút:

$P(X = 3) = \dfrac{4^3.e^{-4}}{3!} = 0,19537$

b) Xác suất không có cuộc gọi nào trong `5` phút:

$P(X = 0) = \dfrac{4^0.e^{-4}}{0!} = \dfrac{1}{e^4}$

Xác suất có ít nhất `1` cuộc gọi trong `5` phút:

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \dfrac{1}{e^4} = 0,98168$

c) Trung bình số cuộc gọi trong `5` phút:

$E(X) = \lambda = 4$

Câu 3:

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Hàm lượng (mg)}&3&7&11&15&19&23&27&31&35\\
\hline
\text{Số trái}&51&47&39&36&32&8&7&3&2\\
\hline
\end{array}$$

\(\begin{array}{l}
\begin{cases}n = 225\\
\overline{x} = 11,5333\\
s = 7,2801
\end{cases}\\
a)\\
\text{Ta có:}\\
\quad 1 - \alpha = 99\%\\
\text{Vì}\ n>30\\
\text{nên}\
\quad t_{\left(n-1;\tfrac{\alpha}{2}\right)} \approx Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,495) = 2,57\\
\text{Gọi $\mu$ là lượng dầu trung bình của trái cây ở vùng V}\\
\text{Khoảng ước lượng lượng dầu trung bình của trái cây ở vùng V:}\\
\quad \mu \in \left(11,5333 - 2,57\cdot \dfrac{7,8201}{\sqrt{225}};11,5333 + 2,57\cdot \dfrac{7,8201}{\sqrt{225}} \right)\\
\Leftrightarrow \mu \in (10,285;12,781)\\
\text{Vậy lượng dầu trung bình của trái cây ở vùng V khoảng từ}\\
\text{10,285mg đến 12,781mg}\\
b)\\
\quad \begin{cases}f = \dfrac{8+7+3+2}{225} = \dfrac{4}{45}\\1 - \alpha = 95\%
\end{cases}\\
\Rightarrow \varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} = 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{4\cdot 41}{45^2\cdot 225}} = 0,0372\\
\text{Gọi $p$ là tỉ lệ trái loại A ở vùng V}\\
\text{Khoảng ước lượng tỉ lệ trái cây loại A ỏ vùng V là:}\\
\quad p \in \left(\dfrac{4}{45} - 0,0372;\dfrac{4}{45} + 0,0372\right)\\
\Leftrightarrow p \in (0,0517;0,1261)\\
\text{Vậy tỉ lệ trái loại A ở vùng A khoảng từ $5,17\%$ đến $12,61\%$}\\
c)\\
\text{Gọi $\mu$ là lượng dầu trung bình của trái cây đang xét ở vùng V}\\
\text{sau khi áp dụng phương pháp mới}\\
\text{Giả thuyết kiểm định:}\quad \begin{cases}H_0: \mu = 10\\H_1: \mu \ne 10\end{cases}\\
\text{Giá trị kiểm định:}\\
\quad T = \dfrac{\left(11,5333 - 10 \right)\sqrt{225}}{7,2801}=3,1592\\
\text{Mức ý nghĩa:}\ \alpha = 1\%\\
\text{Vì}\ n > 30\\
\text{nên}
\quad t_{\left(n-1;\tfrac{\alpha}{2}\right)} \approx Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,495) = 2,57\\
\text{Ta có:}\\
\quad |T| > Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\\
\Rightarrow \text{Bác bỏ $H_0$, chấp nhận $H_1$}\\
\quad\ \text{Hay $\mu \ne 10$}\\
\text{Vậy phương pháp mới làm thay đổi lượng dầu của trái cây}\\
\text{đang xét ở vùng V}\\
d)\\
\text{Gọi $p$ là tỉ lệ trái cây loại A ở vùng V}\\
\text{Giả thuyết kiểm định:}\quad \begin{cases}H_0: p = 0,11\\H_1: p \ne 0,11\end{cases}\\
\text{Giá trị kiểm định:}\\
\quad Z = \dfrac{\left(\dfrac{4}{45} - 0,11\right)\sqrt{225}}{\sqrt{0,11(1-0,11)}}=-1,0121\\
\text{Mức ý nghĩa}\ \alpha = 0,05\\
\Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}\left(\dfrac{1 - 0,05}{2}\right) = \varphi^{-1}(0,475) = 1,96\\
\text{Ta có:}\\
\quad |Z| < Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\\
\Rightarrow \text{Chấp nhận $H_0$}\\
\text{Vậy tỉ lệ trái cây loại A ở vùng V khoảng $11\%$}
\end{array}\)